МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА” ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ з курсу "Чисельні методи" для студентів базового напрямку 6.0802 "Прикладна математика" Затверджено на засіданні кафедри “Прикладна математика” Протокол № 5 від 28.11.2002 р. Львів 2003 Чисельне розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь: Методичні вказівки з курсу «Чисельні методи» для студентів базового напрямку 6.0802 «Прикладна математика»/ Укл.: М.В.Кутнів, І.П.Мединський, Я.В.Пізюр. – Львів: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка», 2003.- 35 с. Укладачі Кутнів М.В., канд. фіз-мат. наук, доц. Мединський І.П., канд. фіз-мат. наук Пізюр Я.В., канд. фіз-мат. наук, доц. Відповідальний за випуск Костробій П.П., канд. фіз-мат. наук, проф. Рецензенти Максимів Є.М., канд. фіз-мат. наук, доц., Гнатів Б.В., канд. фіз-мат. наук, доц. Теоретична частина §1. Прямі методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь В §1-3 розглядаються чисельні методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР)
, (1) де
– матриця порядку
,
-невідомий вектор,
- заданий вектор. Будемо припускати, що визначник матриці
відмінний від нуля, так що розв’язок системи існує і єдиний. Методи чисельного розв’язування систем (1) ділять на два типи: прямі і ітераційні. За допомогою прямих (або точних) методів розв’язок СЛАР знаходять за скінченне число арифметичних дій. Відмітимо, що внаслідок похибок заокруглень при розв’язуванні задач на ЕОМ прямі методи не дають точного розв’язку і називати їх точними можна тільки нехтуючи похибками заокруглень. Порівняння різних прямих методів проводиться за кількістю арифметичних дій за великих
, необхідних для одержання розв’язку. Перевага надається за інших рівних умов методу з меншим числом дій. З курсу алгебри відомі два основні методи розв’язування СЛАР: формули Крамера та метод виключення (метод Гаусса). За великих
перший спосіб, який грунтується на обчисленні визначників вимагає порядку
дій, тоді як метод Гаусса тільки
дій. Тому метод Гаусса в різних варіантах широко використовують при розв’язуванні на ЕОМ задач лінійної алгебри. Ітераційні методи полягають в тому, що розв’язок
системи (1) знаходять як границю при
послідовності наближень
, де
–номер ітерації. Як правило за скінченне число ітерацій ця границя не досягається. Задається деяке достатньо мале число
(точність) і обчислення проводяться до тих пір, поки не виконається оцінка
. Метод Гаусса Запишемо систему (1) у вигляді
(2)
Метод Гаусса розв’язування системи (2) полягає у послідовному виключенні змінних
з цієї системи. Припустимо, що
. На першому кроці від
-го рівняння системи (2) віднімаємо перше рівняння, помножене на
. У результаті одержимо систему
(3) де
Якщо
то з останніх
рівнянь системи (3) можна виключити
На
кроці прямого ходу матимемо систему рівнянь:
(4) Припустимо, що
Помножимо
те рівняння системи (4) на
і віднімемо від
го, де
Унаслідок одержимо

де
(5) Елемент
на
му кроці виключення називають головним елементом. При реалізації алгоритму елементи
можна записувати відповідно на місце вихідних елементів
пам’яті ЕОМ, а елементи
на місце елементів
які перетворені в нуль. Після закінчення прямого ходу отримаємо систему рівнянь із верхньою трикутною матрицею:
(6) З цієї системи визначимо невідомі
за формулами:
(7) Систему лінійних рівнянь розв’язано. Обчислимо число арифметичних дій необхідних для розв’язання системи (2) методом Гаусса. Оскільки виконання операцій множення і ділення на ЕОМ потребує значно більше часу, ніж виконання додавання і віднімання, обмежимо...